*2.4| MỞ RỘNG LÍ THUYẾT SÓNG CHO NHỮNG NGUYÊN TỬ

Ở trên, chúng ta đã xét một vài hàm thế năng một chiều và đã giải phương trình sóng Schrodinger độc lập thời gian để thu được hàm xác suất tìm hạt tại những vị trí khác nhau. Bây giờ xét hàm thế của nguyên tử một electron, hoặc Hydro. Chúng ta sẽ không đi vào giải bài toán cụ thể mà chỉ ghi nhận và rút ra nhận xét về hàm sóng và các mức năng lượng.

2.4.1 Nguyên tử một electron

Hạt nhân là một proton mang điện dương nặng và electron là một hạt mang điện âm nhẹ. Theo lí thuyết Bohr cổ điển, electron quay xung quanh hạt nhân. Hàm thế do tương tác Coulomb giữa proton và electron là:

(2.63)

ở đây e là độ lớn của điện tích đơn vị và là hằng số điện môi chân không. Hàm thế này dẫn đến bài toán ba chiều trong hệ tọa độ cầu.

Chúng ta có thể tổng quát hóa phương trình sóng Schrodinger cho trường hợp ba chiều bằng cách viết

(2.64)

ở đây là toán tử Laplace và phải được viết trong hệ tọa độ cầu cho trường hợp này. m₀ là khối lượng nghỉ của electron. Trong hệ tọa độ cầu, phương trình Schrodinger có thể được viết là:

(2.65)

Nghiệm của phương trình (2.65) có thể được xác định bằng phương pháp tách biến. Chúng ta có thể giả sử rằng nghiệm của phương trình sóng độc lập thời gian có thể được viết dưới dạng:

(2.66)

ở đây R, và là hàm theo r, và . Thế dạng này của nghiệm vào phương trình (2.65), chúng ta sẽ thu được

Chúng ta thấy rằng số hạng thứ 2 trong phương trình (2.67) là hàm chỉ phụ thuộc vào , trong khi tất cả các hệ số khác là hàm phụ thuộc vào r và . Do đó, chúng ta có thể viết

(2.68)

ở đây m là hằng số tách biến. Nghiệm của phương trình (2.68) có dạng

(2.69)

Bởi vì hàm sóng phải đơn trị nên m phải là số nguyên, hoặc

(2.70)

Hợp nhất hằng số tách biến, chúng ta có thể tách thêm những biến và r và tạo ra thêm hai hằng số tách biến l và n. Những hằng số tách biến n, l, m được gọi là những số lượng tử và mối liên hệ giữa chúng là

n= 1, 2, 3,…..

l= n–1, n–2, n–3, ….,0 (2.71)

m= –l,…,0,…..+l

Ví dụ: n=1; l=0; m=0

n=2; l=0,1; m=0 (đối với l=0), m=–1, 0, +1 (đối với l=1)

n=3; l=0, 1, 2; m=0 (đối với l=0), m=–1, 0, 1 (đối với l=1), m=–2, –1, 0, 1, 2 (đối với l=2)

………………

Mỗi tập hợp các số lượng tử tương ứng với một trạng thái lượng tử mà electron có thể chiếm.

Năng lượng electron có thể viết dưới dạng

(2.72)

ở đây n là số lượng tử. Năng lượng âm nghĩa là electron liên kết với hạt nhân và chúng ta lại thấy rằng năng lượng của electron liên kết bị lượng tử hóa. Nếu năng lượng trở thành dương thì electron sẽ không còn là hạt liên kết và năng lượng toàn phần của nó sẽ không còn bị lượng tử hóa. Bởi vì tham số n trong phương trình (2.72) là số nguyên, nên năng lượng toàn phần của electron chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc. Năng lượng bị lượng tử hóa một lần nữa chính là kết quả của hạt liên kết trong một vùng không gian xác định.

Nghiệm của phương trình sóng có thể được kí hiệu là ψ_nlm, ở đây n,l,m là những số lượng tử khác nhau. Đối với trạng thái năng lượng thấp nhất , n=1, l=0 và m=0, và hàm sóng là:

(2.73)

Hàm này đối xứng cầu, trong đó

(2.74)

Và bằng bán kính Bohr.

Hàm mật độ xác suất theo r, hoặc xác suất tìm thấy electron tại một khoảng

nào đó từ hạt nhân tỉ lệ với tích ψ₁₀₀.ψ*₁₀₀ và với thể tích vi phân của vỏ xung quanh hạt nhân. Hàm mật độ xác suất đối với trạng thái năng lượng thấp nhất được vẽ trong hình 2.10a. Khoảng cách có xác suất lớn nhất từ hạt nhân là tại r=a₀. Điều này giống với lí thuyết Bohr. Xét hàm xác suất đối xứng cầu này, bây giờ chúng ta có thể hình thành khái niệm đám mây electron, hoặc những mức năng lượng bao quanh hạt nhân thay vì những quỹ đạo rời rạc của hạt quanh hạt nhân.

Hàm mật độ xác suất theo r của hàm sóng đối xứng cầu cao hơn tiếp theo tương ứng với n=2, l=0 và m=0 được biễu diễn trong hình 2.10b. Hình này biểu diễn ý tưởng về những mức năng lượng cao hơn tiếp theo của electron. Mức năng lượng thứ hai ở tại bán kính tính từ hạt nhân lớn hơn mức năng lượng thứ nhất. Như được chỉ ra trong hình, mặc dù vẫn còn một xác suất nhỏ để electron tồn tại ở những bán kính nhỏ hơn. Đối với trường hợp n=2 và l=1 có 3 trạng thái khả dĩ tương ứng với 3 giá trị được phép của số lượng tử m. Những hàm sóng này không còn đối xứng cầu nữa.

Hãy xem ở trạng thái n=3, l=1, m=0, electron trong nguyên tử hidro chuyển động như thế nào

Hãy xem ở trạng thái n=3, l=1, m=1, electron trong nguyên tử hidro chuyển động như thế nào

Mặc dù chúng ta đã không đi sâu vào những chi tiết toán học của bài toán nguyên tử một electron nhưng ba kết quả sau đây là quan trọng và được dùng trong phân tích vật liệu bán dẫn. Thứ nhất là nghiệm của phương trình sóng Schrodinger một lần nữa mang đến hàm phân bố electron như nó được giải với những hàm thế đơn giản hơn. Trong quá trình xây dựng lí thuyết vật lí bán dẫn trong chương sau, chúng ta cũng sẽ xét hàm phân bố electron. Kết quả thứ hai là sự lượng tử hóa những mức năng của electron liên kết. Thứ ba là khái niệm về số lượng tử và những trạng thái lượng tử, nó được rút ra từ phương pháp tách biến. Chúng ta sẽ xét lại khái niệm này trong phần tiếp theo và trong những chương sau khi nghiên cứu vật lí bán dẫn.

2.4.2 Bảng tuần hoàn

Phần đầu của bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học có thể được xác định bằng cách dùng kết quả của nguyên tử một electron cùng với 2 khái niệm nữa. Khái niệm thứ nhất là spin của electron. Electron có momen động lượng nội tại, hoặc spin. Nó bị lượng tử hóa và có thể nhận một trong hai giá trị khả dĩ. Spin được kí hiệu bởi số lượng tử s, nó có giá trị bằng +1/2 hoặc –1/2. Bây giờ chúng ta có bốn số lượng tử cơ bản là n,l,m và s.

Khái niệm thứ hai là nguyên lí loại trừ Pauli. Nguyên lí loại trừ Pauli phát biểu rằng trong bất kì hệ thống nào (nguyên tử, phân tử, hoặc tinh thể), không có 2 electron nào có cùng trạng thái lượng tử. Trong nguyên tử, nguyên lí loại trừ Pauli muốn nói rằng không có hai electron nào có cùng tập hợp các số lượng tử. Chúng ta sẽ thấy rằng nguyên lí loại trừ Pauli cũng là một nhân tố quan trọng trong việc xác định phân bố của electron vào những trạng thái năng lượng có sẵn trong tinh thể.

Bảng 2.1 biễu diễn vài nguyên tử đầu tiên của bảng tuần hoàn. Với nguyên tử thứ nhất, Hidro, chúng ta có một electron ở trạng thái năng lượng thấp nhất ứng với n=1. Từ phương trình (2.71) cả hai số lượng tử l và m phải bằng 0. Tuy nhiên, electron có thể nhận giá trị spin là +1/2 hoặc –1/2. Đối với Heli, hai electron có thể tồn tại ở mức năng lượng thấp nhất. Đối với trường hợp này l=m=0, vì vậy bây giờ cả hai trạng thái spin của electron bị chiếm và mức năng lượng thấp nhất đầy. Hoạt động hóa học của một nguyên tố được xác định chủ yếu dựa vào các electron hóa trị hoặc các electron ngoài cùng. Bởi vì mức năng lượng hóa trị của He đầy nên nó sẽ không tương tác với các nguyên tố khác và là nguyên tố khí trơ.

Nguyên tố thứ 3 Li có 3 electron. Electron thứ 3 phải được sắp vào trong mức năng lượng thứ 2 tương ứng với n=2, số lượng tử l có thể là 0 hoặc 1, và khi l=1, số lượng tử m có thể là –1,0,+1. Trong mỗi trường hợp, spin của electron có thể là +1/2 hoặc –1/2. Do đó, đối với n=2 có 8 trạng thái lượng tử khả dĩ. Neon có 10 electron. Hai electron ở mức n=1 và 8 electron ở mức n=2. Bây giờ mức năng lượng thứ hai đầy, có nghĩa là Neon cũng là nguyên tử khí trơ.

Từ nghiệm của phương trình sóng schrodinger cho nguyên tử một electron, cộng với khái niệm về spin của electron và nguyên lí loại trừ Pauli, chúng ta có thể xây dựng nên bảng tuần hoàn các nguyên tố. Khi số nguyên tử của nguyên tố tăng, những electron sẽ bắt đầu tương tác với nhau vì thế việc xây dựng bảng tuần hoàn sẽ hơi khác chút ít so với phương pháp trình bày ở đây.

Video sau đây sẽ mô tả sự phân bố electron vào các mức năng lượng: