2.3|ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRODINGER

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng phương trình sóng Schrodinger cho một số bài toán cụ thể với các hàm thế khác nhau. Những trường hợp này sẽ minh họa các phương pháp được dùng để giải phương trình Schrodinger và kết quả của những trường hợp này sẽ cung cấp cho chúng ta kiến thức về hành vi của electron trong các thế năng khác nhau. Chúng ta sẽ dùng những kết quả được rút ra để thảo luận về tính chất của bán dẫn.

2.3.1 Electron trong không gian tự do

Đầu tiên, xét chuyển động của một electron trong không gian tự do. Nếu không có lực tác động lên hạt thì hàm thế V(x) sẽ bằng 0. Do đó, từ phương trình (2.13) phương trình sóng không phụ thuộc thời gian có thể được viết là

                                                                                         (2.19)

Nghiệm của phương trình vi phân này có thể được viết dưới dạng

                                                           (2.20)

          Phần phụ thuộc thời gian của nghiệm vẫn sẽ là

                                                                                                       (2.21)

Do đó, nghiệm toàn phần của hàm sóng là

                                     (2.22)

Đây là nghiệm sóng chạy, điều đó có nghĩa là hạt di chuyển trong không gian tự do được biễu diễn bằng sóng chạy. Số hạng đầu tiên, với hệ số A là sóng chạy theo hướng +x, còn số hạng thứ hai với hệ số B là sóng chạy theo hướng –x. Giá trị của những hệ số này sẽ được xác định từ điều kiện biên. Chúng ta sẽ gặp lại nghiệm sóng chạy của electron trong tinh thể hoặc vật liệu bán dẫn.

          Giả sử rằng chúng ta có một hạt di chuyển theo hướng +x, nó sẽ được mô tả bởi sóng chạy +x, hệ số B=0. Chúng ta có thể viết nghiệm sóng chạy dưới dạng

               Ψ(x,t)=Aexp[j(kx–ωt)]                                                                        (2.23)

ở đây k là số sóng và

                                                                                                               (2.24)

λ là bước sóng, so sánh phương trình (2.22) với phương trình (2.23) suy ra bước sóng sẽ là

                                                                                                           (2.25)

Từ nguyên lí lưỡng tính sóng hạt De Broglie, bước sóng cũng có thể được viết là

                                                                                                                  (2.26)

Một hạt tự do với năng lượng xác định cũng sẽ có bước sóng và động lượng  xác định.

          Hàm mật độ xác suất ψ(x,t)ψ*(x,t)=AA*, là hằng số không phụ thuộc vị trí. Hạt tự do với động lượng xác định có thể được tìm thấy với xác suất bằng nhau ở mọi nơi. Kết quả này phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg: động lượng sẽ dẫn đến vị trí không xác định.

1.gif          Một hạt tự do định xứ được xem như bó sóng (được hình thành bằng cách chồng chất nhiều hàm sóng với động lượng khác nhau). Chúng ta sẽ không xem xét bó sóng ở đây.

2.3.2 Giếng thế vô hạn

Bài toán hạt chuyển động trong giếng thế vô hạn là ví dụ điễn hình về hạt liên kết. Thế V(x) là hàm theo tọa độ được biễu diễn trong hình 2.5. Hạt được giả sử tồn tại trong vùng II, cũng có nghĩa là nó bị giam trong vùng không gian xác định.

 

Từ phương trình (2.13) suy ra phương trình sóng Schrodinger độc lập thời gian trong trường hợp này là

                                                                            (2.13)

ở đây E là năng lượng toàn phần của hạt. Nếu E xác định, hàm sóng phải bằng 0 cả trong vùng I và III. Hạt không thể xuyên qua hàng rào thế xác định này, vì vậy xác suất tìm thấy hạt trong vùng I và vùng III bằng 0

          Phương trình sóng Schrodinger độc lập thời gian trong vùng II, ở đây V=0 là

                                                                                         (2.27)

Nghiệm của phương trình này có dạng

                                                                                  (2.28)

ở đây

                                                                                                        (2.29)

          Điều kiện biên liên tục của hàm sóng cho ta

         Ψ(x=0)=ψ(x=a)=0                                                                                  (2.30)

Áp dụng điều điều kiện biên tại x=0, chúng ta có A1 phải bằng 0. Tại x=a, chúng ta có

                Ψ(x=a)=0=A2sinKa                                                                           (2.31)

Phương trình này có nghĩa nếu Ka=nπ, ở đây n là số nguyên dương n=1,2,3,…. được gọi là số lượng tử. Chúng ta có thể viết

                                                                                                               (2.32)

Giá trị âm của n sẽ làm cho hàm sóng có dấu âm và tương ứng với các hàm mật độ xác suất giống với trường hợp n dương. Về mặt vật lí, chúng ta không thể phân biệt bất cứ sự khác nhau nào giữa các nghiệm +n và –n. Bởi vì sự dư thừa này, những giá trị âm của n sẽ không được xét đến.

          Hệ số A2 có thể tìm được bằng cách dùng điều kiện biên chuẩn hóa được cho trong phương trình (2.18) là . Vì hàm sóng là hàm thực nên ψ(x)=ψ*(x). Thế hàm sóng vào phương trình (2.18) chúng ta có

                                                                                                (2.33)

Tính tích phân sau đó ta suy ra được

                                                                                                              (2.34)

          Cuối cùng nghiệm độc lập thời gian là

        ở đây n=1,2,3………….                                               (2.35)

          Nghiệm này biễu diễn electron trong giếng thế không xác định và là nghiệm sóng dừng. Electron tự do được biễu diễn bởi sóng chạy, và bây giờ hạt liên kết được biễu diễn bằng sóng dừng.

          Tham số K trong nghiệm được định nghĩa bởi phương trình (2.29) và (2.32). Từ hai biểu thức này của K, suy ra

                                                                                                        (2.36)

Do đó năng lượng toàn phần là

         ở đây n=1, 2, 3…………                                                 (2.37)

          Đối với hạt trong giếng thế vô hạn, hàm sóng là

                                                                                                  (2.38)

Ở đây hằng số K phải có những giá trị rời rạc, nghĩa là năng lượng toàn phần của hạt chỉ có những giá trị rời rạc. Kết quả này có nghĩa là năng lượng của hạt bị lượng tử hóa. Nghĩa là, năng lượng của hạt chỉ có những giá trị rời rạc nào đó. Sự lượng tử hóa năng lượng của hạt trái ngược với những kết quả của vật lí cổ điển. Vật lí cổ điển chỉ cho phép hạt có những giá trị năng lượng liên tục. Năng lượng rời rạc dẫn đến những trạng thái lượng tử sẽ được xét chi tiết hơn trong chương này và những chương sau. Sự lượng tử hóa năng lượng của hạt liên kết là kết quả cực kì quan trọng.

          Hình 2.6a biễu diễn 4 mức năng lượng đầu tiên của hạt trong giếng thế không xác định, và hình 2.6b và 2.6c biễu diễn hàm sóng và hàm xác suất tương ứng. Chúng ta có thể rút ra rằng khi năng lượng tăng, xác suất tìm thấy hạt tại vị trí x bất kì cũng trở nên đồng đều hơn.

1.gif

2.3.3 Hàm thế bậc thang

Bây giờ xét hàm thế bậc thang được biễu diễn trong hình 2.7. Trong phần trước, chúng ta đã xét một hạt bị giam giữa hai hàng rào thế. Trong ví dụ này, chúng ta sẽ giả sử rằng có một dòng hạt xuất phát từ –∞ và chuyển động theo hướng +x . Kết quả đáng chú ý thu được trong trường hợp năng lượng toàn phần của hạt nhỏ hơn độ cao hàng rào, hoặc E<V0.

1.gif

          Một lần nửa chúng ta cần xét phương trình sóng không phụ thuộc thời gian trong mỗi vùng. Trong vùng I, V=0, phương trình sóng là

                                                                                        (2.39)

Nghiệm tổng quát của phương trình này có thể viết dưới dạng

  (x≤0)                                                                              (2.40)

ở đây, hằng số K1 là

                                                                                                          (2.41)

Số hạng thứ I trong phương trình (2.40) là sóng chạy theo hướng +x biễu diễn sóng tới, và số hạng thứ 2 là sóng chạy tho hướng –x biễu diễn sóng phản xạ. Như trong trường hợp của hạt tự do, những hạt tới và hạt phản xạ được biễu diễn bằng sóng chạy.

          Đối với sóng tới, A1A1* là hàm mật độ xác suất của những hạt tới. Nếu chúng ta nhân hàm mật độ xác suất này với vận tốc tới thì υi.A1.A1* là thông lượng hạt tới (đơn vị là #/cm2-s). Tương tự, đại lượng υr.B1.B1* là thông lượng hạt phản xạ, ở đây υr là vận tốc của sóng phản xạ (υi và υr trong những số hạng này chỉ là giá trị độ lớn của vận tốc)

          Trong vùng II, thế năng V=V0. Nếu chúng ta giả sử rằng E<V0 thì phương trình vi phân mô tả hàm sóng trong vùng II có thể được viết là

                                                                              (2.42)

Nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng

             (x≥0)                                                                  (2.43)

ở đây                                                                                       (2.44)

          Hàm sóng ψ2 phải xác định khi x≥0. Điều đó cũng có nghĩa là cho dù x tiến đến vô cùng thì ψ2 cũng phải xác định. Nhưng khi thế x=∞ vào biểu thức của ψ2 trong (2.43) thì số hạng thứ hai sẽ bằng vô cùng, dẫn đến cả hàm sóng cũng bằng vô cùng. Muốn điều này không xảy ra thì hệ số B2 phải bằng 0. Hàm sóng lúc này được viết là

                                                                                                     (2.45)

Hàm sóng tại x=0 phải liên tục:

          ψ1(0)=ψ2(0)                                                                                              (2.46)

Do đó từ phương trình (2.40), (2.45) và (2.46), chúng ta thu được

          A1+B1=A2                                                                                                 (2.47)

          Bởi vì hàm thế xác định ở mọi nơi, đạo hàm bậc I của hàm sóng phải liên tục:

                                                                                                  (2.48)

Dùng phương trình (2.40), (2.45) và (2.48), chúng ta thu được

          jK1A1–jK1B1=–K2A2                                                                                  (2.49)

Chúng ta có thể giải phương trình (2.47) và (2.49) để xác định hệ số B1 và A2 theo hệ số sóng tới A1. Kết quả là

                                                                               (2.50a)

Và

                                                                                         (2.50b)

Hàm mật độ xác suất phản xạ là

                                             (2.51)

          Chúng ta có thể định nghĩa hệ số phản xạ R là tỉ số của thông lượng phản xạ và thông lượng tới

                                                                                                         (2.52)

ở đây υi và υr tương ứng là vận tốc tới và vận tốc phản xạ của hạt. Trong vùng I, V=0 vì thế E=T, ở đây T là động năng của hạt. Động năng được viết là:

        T=(1/2)mυ2                                                                                                                                                    (2.53)

Vì thế, từ phương trình (2.41) hằng số K1 có thể được viết là

                                                                       (2.54)

Do đó, vận tốc tới có thể được viết là

                                                                                                             (2.55)

Bởi vì hạt phản xạ cũng tồn tại trong vùng I, độ lớn của vận tốc phản xạ là

                                                                                                            (2.56)

Độ lớn của vận tốc tới và vận tốc phản xạ bằng nhau. Do đó, hệ số phản xạ là

                                                                                             (2.57)

Thế những biểu thức từ phương trình (2.51) vào phương trình (2.57),chúng ta thu được

                                                                    (2.58)

Kết quả R=1 có nghĩa là tất cả những hạt đến hàng rào thế có năng lượng E<V0 cuối cùng đều bị phản xạ. Chúng không được hấp thụ hoặc truyền qua hàng rào thế. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với cơ học cổ điển và chúng ta tự hỏi rằng tại sao phải xét vấn đề này theo cơ học lượng tử. Kết quả đáng quan tâm xuất hiện tại vùng II.

          Nghiệm trong vùng II được cho bởi phương trình (2.45) là . Hệ số A2 theo phương trình (2.47) là A2=A1+B1, hệ thức này được chúng ta rút ra từ điều kiện biên. Đối với trường hợp E<V0, hệ số A2 khác 0. Nếu A2 khác 0 thì hàm mật độ xác suất ψ2(x).ψ2(x)* của hạt trong vùng II khác 0. Kết quả này chứng tỏ rằng có một xác suất nào đó để chùm hạt tới xuyên qua hàng rào và tồn tại ở vùng II. Xác suất để hạt xuyên qua hàng rào thế là sự khác nhau cơ bản giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử: sự xuyên hầm là không được phép theo quan điểm cổ điển. Mặc dù có xác suất để hạt chui qua hàng rào , nhưng hệ số phản xạ trong vùng I bằng 1, cuối cùng hạt trong vùng II sẽ chuyển động lòng vòng và sau đó quay trở về vùng I.

2.3.4 Hàng rào thế

1.gifXét hàng rào thế được biễu diễn trong hình 2.8. Một lần nữa, vấn đề đáng quan tâm hơn là trường hợp năng lượng toàn phần của hạt tới E<V0. Chúng ta lại giả sử rằng chúng ta có một dòng các hạt tới xuất phát từ miềm âm của trục x và di chuyển theo hướng +x. Như trước, chúng ta cần giải phương trình sóng Schrodinger độc lập thời gian trong 3 vùng. Nghiệm của phương trình sóng trong vùng I, II và III tương ứng là:

          (2.59a)                                                                          

             (2.59b)                                                                        

            (2.59c)

Ở đây

                                                                                                      (2.60a)

Và

                                                                                            (2.60b)

Hệ số B3 trong phương trình (2.59c) biễu diễn sóng chạy âm trong vùng III. Tuy nhiên, khi một hạt đi vào trong vùng III, không có sự thay đổi thế năng để gây ra phản xạ; do đó, hệ số B3 phải bằng 0. Chúng ta phải giữ cả những số hạng lũy thừa trong phương trình (2.59b) bởi vì độ rộng hàng rào thế xác định; nghĩa là không số hạng nào trở thành không liên kết. Chúng ta có 4 điều kiện biên tại x=0 và x=a tương ứng với những hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của nó phải liên tục. Chúng ta có thể tìm các hệ số B1, A2, B2 và B3 theo A1. Nghiệm trong ba vùng được biễu diễn trong hình 2.9.

1.gif

          Một thông số đáng quan tâm là hệ số truyền qua được định nghĩa là tỉ số giữa thông lượng được truyền qua trong vùng III với thông lượng tới trong vùng I. Do đó, hệ số truyền qua T là:

                                                                                          (2.61)

ở đây υt và υi là vận tốc của những hạt truyền qua và những hạt tới. Bởi vì thế năng V=0 ở cả vùng I và vùng III nên vận tốc tới và vận tốc truyền qua bằng nhau. Hệ số truyền qua có thể được xác định bằng cách cách giải những phương trình điều kiện biên. Đối với trường hợp đặc biệt khi E<<V0, chúng ta tìm được:

                                                                              (2.62)

          Phương trình (2.62) có nghĩa là có một xác suất nào đó để một hạt xuyên qua hàng rào thế và đi vào trong vùng III. Hiện tượng này được gọi là sự chui hầm và quá mâu thuẫn với cơ học cổ điển. Sau này chúng ta sẽ thấy hiện tương chui hầm lượng tử này sẽ được áp dụng trong vật lí bán dẫn như thế nào, chẳng hạn như diode chui hầm.

          Những ứng dụng của phương trình sóng Schrodinger với những hàm thế năng một chiều khác nhau được tìm thấy trong các bài tập cuối chương. Một trong số các hàm thế này biễu diễn cấu trúc giếng lượng tử trong các thiết bị bán dẫn hiện đại.