Dinh huong

2.2 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRODINGER

Những kết quả thực nghiệm trên sóng điện từ và hạt vi mô không thể giải thích được bằng các định luật cơ học cổ điển, điều đó đòi hỏi phải xây dựng một môn cơ học mới cho các hạt vi mô. Năm 1926, Schrodinger đã xây dựng cơ học sóng, nó hợp nhất nguyên lí lượng tử do Planck đưa ra và nguyên lí lưỡng tính sóng hạt của De Broglie. Dựa trên nguyên lí lưỡng tính sóng hạt, chúng ta sẽ mô tả chuyển động của electron trong tinh thể bằng lí thuyết sóng. Lí thuyết sóng này được mô tả bởi phương trình sóng Schrodinger.

2.2.1 Phương trình sóng

Phương trình sóng Schrodinger một chiều, phi tương đối tính là:

                                                             (2.6)

ở đây ψ(x,t)  là hàm sóng, V(x) là thế năng được giả sử là không phụ thuộc thời gian, m là khối lượng của hạt và j là một hằng số ảo bằng . Có một luận cứ lí thuyết để dẫn ra phương trình sóng Schrodinger, nhưng phương trình là một định đề cơ bản của cơ học lượng tử. Hàm sóng ψ(x,t) sẽ được dùng để mô tả hành vi của hệ và về mặt toán học ψ(x,t) là một hàm phức.

          Chúng ta có thể xác định phần phụ thuộc thời gian của hàm sóng và phần phụ thuộc tọa độ bằng cách dùng kĩ thuật tách biến. Giả sử rằng hàm sóng có thể được viết dưới dạng

                                                                                                    (2.7)

ở đây ψ(x) là hàm theo tọa độ x và  là hàm theo thời gian. Thế dạng này của nghiệm vào phương trình sóng Schrodinger, chúng ta thu được:

                                                        (2.8)

Nếu chia cho hàm sóng toàn phần, phương trình 2.8 trở thành

                                                                   (2.9)

Bởi vì vế trái của phương trình là hàm theo vị trí x và vế phải của phương trình là hàm theo thời gian, muốn phương trình này có nghĩa thì mỗi vế của phương trình này phải bằng hằng số. Chúng ta kí hiệu hằng số này là η.

Do đó, phần phụ thuộc thời gian của phương trình (2.9) được viết là

                                                                                                   (2.10)

Nghiệm của phương trình 2.10 có thể được viết dưới dạng

                                                                                                   (2.11)

Dạng nghiệm này là dạng hàm mũ của sóng sin, ở đây η/ћ là tần số bức xạ ω. Chúng ta có  hoặc E=hω/2π. Do đó, ω=η/ћ =E/ћ vì thế hằng số tách biến η bằng năng lượng E của hạt.

          Phần không phụ thuộc thời gian của phương trình sóng Schrodinger bây giờ có thể được viết từ phương trình (2.9) là:

                                                                               (2.12)

ở đây hằng số tách biến là năng lượng toàn phần E của hạt. Phương trình (2.12) có thể được viết là:

                                                                              (2.13)

ở đây m là khối lượng của hạt, V(x) là thế năng của hạt, và E là năng lượng toàn phần của hạt. Phương trình sóng Schrodinger không phụ thuộc thời gian cũng có thể được dẫn ra dựa vào phương trình sóng cổ điển như được chứng minh trong phần phụ lục E. Cách tiếp cận này đơn giản nhưng nó chứng tỏ sự đáng tin cậy của phương trình sóng Schrodinger độc lập thời gian.

2.2.2 Ý nghĩa vật lí của hàm sóng

Mục đích cuối cùng của chúng ta là dùng phương trình sóng ψ(x,t)  để mô tả hành vi của electron trong tinh thể. Hàm ψ(x,t) là hàm sóng, vì vậy cần phải biết mối quan hệ giữa hàm và electron là gì. Hàm sóng toàn phần là tích của hàm sóng không phụ thuộc thời gian và hàm sóng phụ thuộc thời gian. Từ (2.7) chúng ta có

                                                                              (2.14)

Bởi vì hàm sóng toàn phần là hàm phức nên bản thân nó không thể  biễu diễn một đại lượng vật lí thực.

          Năm 1926, Max Born đã phát biểu rằng bình phương modun hàm sóng |ψ(x,t)|2 dx là xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x+dx tại một thời điểm nào đó, hoặc |ψ(x,t)|2 là hàm mật độ xác suất. Chúng ta có:

                                                                                       (2.15)

Ở đây ψ*(x,t) là hàm liên hợp phức. Do đó

Vì thế tích của hàm sóng toàn phần và liên hợp phức của nó sẽ bằng

                                            (2.16)

Do đó, chúng ta có

                                                                               (2.17)

Là hàm mật độ xác suất và không phụ thuộc thời gian. Một sự khác biệt lớn giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử là trong cơ học cổ điển, vị trí của hạt có thể được xác định chính xác, trong khi đó trong cơ học lượng tử, vị trí của hạt được xác định theo xác suất. Chúng ta sẽ xác định hàm mật độ xác suất trong vài trường hợp, và bởi vì nó không phụ thuộc thời gian, nói chung, chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến những phương trình sóng không phụ thuộc thời gian.

2.2.3 Điều kiện biên

Bởi vì hàm sóng |ψ(x,t)|2 biễu diễn hàm mật độ xác suất, do đó, đối với một hạt, chúng ta phải có

                                                                                                    (2.18)

Xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là tất nhiên. Phương trình (2.18) cho phép chúng ta chuẩn hóa hàm sóng và là điều kiện được dùng để xác định những hệ số trong hàm sóng.

          Điều kiện còn lại áp đặt cho hàm sóng và đạo hàm của nó. Tuy nhiên chúng ta phải phát biểu điều kiện biên và đưa ra lí lẽ biện minh tại sao chúng ta phải áp đặt những điều kiện ấy. Hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của nó phải có tính chất sau nếu năng lượng toàn phần E và thế năng V(x) của nó xác định ở mọi nơi.

          Điều kiện 1: ψ(x) phải xác định, liên tục và đơn trị.

          Điều kiện 2:  phải xác định, liên tục và đơn trị.

          Bởi vì |ψ(x)|2 là mật độ xác suất nên ψ(x) phải xác định và đơn trị. Nếu mật độ xác suất không xác định tại điểm nào đó trong không gian thì xác suất tìm thấy hạt tại vị trí này sẽ là chắc chắn (100%) và nguyên lí bất định sẽ bị vi phạm. Nếu năng lượng toàn phần E và thế năng V(x) xác định ở mọi nơi thì từ phương trình (2.13), đạo hàm bậc II phải xác định, nghĩa là đạo hàm bậc I phải liên tục. Đạo hàm bậc I có liên quan đến động lượng hạt, là đại lượng xác định và đơn trị. Cuối cùng, đạo hàm bậc I xác định có nghĩa là chính hàm số đó phải liên tục. Trong một vài trường hợp đặc biệt mà chúng ta sẽ xem xét, hàm thế sẽ không xác định tại một vùng nào đó của không gian. Đối với trường hợp này, đạo hàm bậc nhất không  liên tục, nhưng điều kiện biên còn lại vẫn còn đúng.

  Về đầu trang